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湖南行測(cè)極值問(wèn)題之一元二次函數(shù)求極值

發(fā)布：2024-08-22 10:22:35 字號(hào)：小 | 中 | 大

湖南公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)累積

　　極值問(wèn)題是一類經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn)，考查頗為靈活。其中，利用一元二次函數(shù)求極值的題目較為典型。提到一元二次函數(shù)大家應(yīng)該都不陌生，我們都知道其函數(shù)圖像為一條拋物線，且開(kāi)口可能向上也可能向下，當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，函數(shù)有極小值；當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，函數(shù)有極大值。

例題講解，做好筆記

　　但不管是哪種情況，函數(shù)總是對(duì)稱的，所以必然會(huì)在對(duì)稱軸位置處取得極值。那么對(duì)稱軸怎么求呢?我們可以令函數(shù)等于0，得到函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)圖像的對(duì)稱性，找到兩個(gè)交點(diǎn)的正中間值，即為對(duì)稱軸的位置。下面讓我們來(lái)一起做兩道題加深一下理解：

　　例1、廠家生產(chǎn)銷售某新型節(jié)能產(chǎn)品，產(chǎn)品生產(chǎn)成本是168元，銷售定價(jià)為238元，一位買家向該廠家預(yù)定了120件產(chǎn)品，并提出如果產(chǎn)品售價(jià)每降低2元，就多訂購(gòu)8件。則該廠家在這筆交易中所能獲得的最大利潤(rùn)是( )元。

　　A.17920

　　B.13920

　　C.10000

　　D.8400

　　【解析】C。由題目所給信息，我們知道所求為總利潤(rùn)的最大值。又因?yàn)榭偫麧?rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量，所以需要把單件的利潤(rùn)以及銷售量分別表示出來(lái)。具體來(lái)看，每一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為238-168=70(元)，售價(jià)每降低2元，利潤(rùn)也會(huì)跟著降低2元，所以在這不妨假設(shè)售價(jià)降低了x個(gè)2元，對(duì)應(yīng)單件的利潤(rùn)應(yīng)表示為(70-2x)元；原銷售量為120件，并且售價(jià)每降低2元，銷售量就會(huì)增加8件，因此銷售量應(yīng)表示為(120+8x)件。故總利潤(rùn)為(70-2x)×(120+8x)元。所求為最大利潤(rùn)，即這個(gè)函數(shù)的極大值。

　　在這里我們可以利用一元二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性來(lái)求解，先讓函數(shù)的值等于0，即令：(70-2x)×(120+8x)=0，解得：x1=35或x2=-15。由其對(duì)稱性可知，x1和x2必關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，換言之，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸正好位于x1和x2的正中間，即函數(shù)的對(duì)稱軸為

也就是說(shuō)當(dāng)x=10時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)。代入原函數(shù)，最大利潤(rùn)為(70-2×10)×(120+8×10)=10000(元)，故選C。

　　例2、某木苗公司準(zhǔn)備出售一批木苗，如果每株以4元出售，可賣20萬(wàn)株，若木苗單價(jià)每提高0.4元，就會(huì)少賣10000株。那么，在最佳定價(jià)的情況下，該公司的最大收入是多少萬(wàn)元？

　　A.30

　　B.60

　　C.90

　　D.100

　　【解析】C。題目所求為最大收入，而收入=單價(jià)×銷售量，因此我們需要把單價(jià)和銷售量分別表示出來(lái)。先來(lái)看單價(jià)，單價(jià)為4元，設(shè)提高了x個(gè)0.4元，則單價(jià)=(4+0.4x)元;銷售量為20萬(wàn)株，單價(jià)每提高0.4元，銷售量便減少1萬(wàn)株，所以銷售量=(20-x)萬(wàn)株。

　　因此收入=(4+0.4x)×(20-x)萬(wàn)元，所求的收入最大值就是求這個(gè)一元二次函數(shù)的極大值�？梢岳煤瘮�(shù)的對(duì)稱性來(lái)求解。令：(4+0.4x)×(20-x)=0，解得x1=-10或x2=20，由其對(duì)稱性可知，x1和x2必關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則函數(shù)的對(duì)稱軸為