2023湖南省考行測(cè)數(shù)量關(guān)系之“余數(shù)同余”
在公務(wù)員考試的數(shù)量關(guān)系模塊中，余數(shù)相關(guān)問(wèn)題是考查的傳統(tǒng)重點(diǎn)，也是令很多考生犯難的一種題型�，F(xiàn)湖南公務(wù)員考試網(wǎng)小編對(duì)常見(jiàn)的幾類(lèi)余數(shù)同余題目給予分析，幫助考生輕松解決此類(lèi)問(wèn)題。
按照�？嫉念}型，余數(shù)問(wèn)題可以分為以下幾類(lèi)：
一、代入排除類(lèi)型
【例1】（江西2009）學(xué)生在操場(chǎng)上列隊(duì)做操，只知人數(shù)在90-110之間。如果排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人;則學(xué)生人數(shù)是多少?( )
A.102
B.98
C.104
D.108
【解析】像這樣的題目直接代入選項(xiàng)，看看哪個(gè)符合題目所給的條件，哪個(gè)就是正確的答案，毫無(wú)疑問(wèn)，選項(xiàng)108滿足條件，選擇D。
二、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用
余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@一部分的知識(shí)點(diǎn)在小學(xué)時(shí)候就已經(jīng)學(xué)過(guò)了，余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)），但是在這里需要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：
1、余數(shù)是有范圍的（0≤余數(shù)＜除數(shù)），這需要引起大家足夠的重視，因?yàn)檫@是某些題目的突破口。
2、由關(guān)系式轉(zhuǎn)變的余數(shù)基本恒等式也需要掌握：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)。
【例2】?jī)蓚�(gè)整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少？
A.12
B.41
C.67
D.71
【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍（0≤余數(shù)＜除數(shù)），我們能夠確定除數(shù)＞11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)≥12×商＋余數(shù)=12×5＋11=71，因此被除數(shù)最小為71，答案選擇D選項(xiàng)。
【例3】有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過(guò)400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是？
A. 216
B. 108
C. 314
D. 348
【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過(guò)400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。
像上面這兩個(gè)題目，就是活用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題的，所以在對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的練習(xí)過(guò)程中，一定要牢牢地把握這兩點(diǎn)。
三、同余問(wèn)題
這類(lèi)問(wèn)題在考試中比較常見(jiàn)，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來(lái)求得最終答案。通過(guò)總結(jié)我們得出解決同余問(wèn)題的核心口訣，如下表所示：
同余問(wèn)題核心口訣
“最小公倍數(shù)作周期，余同取余，和同加和，差同減差”
余同取余：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，這個(gè)數(shù)是 60n+1
和同加和：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，這個(gè)數(shù)是 60n+7
差同減差：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5”，這個(gè)數(shù)是 60n-1
說(shuō)明：在這里，n的取值范圍為整數(shù)，可以為正數(shù)也可以取負(fù)數(shù)。
【例4】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)如何表示？
【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A－1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。
【例5】一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)如何表示？
【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的和相同，對(duì)應(yīng)的為“和同加和”，滿足這三個(gè)條件的數(shù)可以表示為：A= 60n+7。
【例6】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)如何表示？
【解析】除以除以4余1，除以5余2，除以6余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的差相同，對(duì)應(yīng)的為“差同減差”，滿足這三個(gè)條件的數(shù)可以表示為：60n－1。
根據(jù)以上三道例題的結(jié)論，我們還可以舉一反三地解決其他相關(guān)問(wèn)題。如：
【例7】一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？
A. 5個(gè)
B. 6個(gè)
C. 7個(gè)
D. 8個(gè)
解析：除以5余2，除以4余3，我們知道除數(shù)與對(duì)應(yīng)余數(shù)的和相同，對(duì)應(yīng)的為“和同加和”，滿足這兩個(gè)條件的數(shù)可以表示為，P=20n+7，表示除以20余7；再配上之前的條件除以9余7，對(duì)應(yīng)的為“余同取余”，我們得到這個(gè)數(shù)可以表示為180n+7，由于這個(gè)數(shù)為三位數(shù)，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個(gè)。
由此可以看出，針對(duì)行測(cè)考試中出現(xiàn)的此類(lèi)問(wèn)題，只要大家掌握余數(shù)的基本點(diǎn)，包括關(guān)系式和恒等式等，牢記同余問(wèn)題的解決口訣，清楚公倍數(shù)（或最小公倍數(shù)）的求法，再遇到類(lèi)似的余數(shù)同余問(wèn)題，就能輕松、快速地解決掉。
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